2017年厦门大学数学科学学院825高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
，
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
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并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
方法2:设考虑到
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 下面哪一种变换是线性变换（ ） . 【答案】C 【解析】 ，而 4． 若 【答案】C 【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得 都是4维列向量，且4阶行列式 不一定是线性变换， 比如 不是惟一的. . 则 也不是线性变换， 比如给 5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA B. 存在可逆阵P ，使 C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 二、分析计算题 6． 设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价. （1）T 是酉变换； （2）T 是同构映射； （3）如果【答案】 是标准正交基，那么设T 是酉变换，即 第 3 页，共 40 页 也是标准正交基； （4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵 取令 为V 的一组标准正交基，且 为A 的列向量，由①有 所以也是标准正交基 . 任取V 的一组标准正交基 由（3）知 也是标准正交基，且 令其中为列向量，则 由⑤知B 为酉矩阵 . 取V 的一组标准正交基 由（4）知D 为酉矩阵，令 ，设 其中D. 为列向量. 则 由⑦知 为标准正交基. 0可逆. 故丁是V 到V 的双射 . 且 . 所以 由③，④，知 故 综上所述丁是V 的同构映射 . 设T 是V 的同构映射，从而有①式成立，所以T 是酉变换. 7． 设A 是n 阶矩阵，a 是一个n 维列向量. 证明：如果 【答案】由题设知 所以 第 4 页，共 40 页 由于D 是酉矩阵，因此 则有
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