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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

使

因此A 与B 合同. 2． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

3． 设

其中A 可逆，则A.

=（ ）.

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B. C. D. 【答案】C

【解析】因为

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

5． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

秩

未知量个数，

二、分析计算题

6． 设是数域P 上线性空间V 的线性变换，且

（1）（2）

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证明：

（3）如果是V 的线性变换，且【答案】（1）所以故

则

于是

从而

则

都是的不变子空间，则

反之，因为

因为

所以

（3）先证事实上，

于是

由（2）可设

注意到

则

于是

故

7． 设

整除

求a. b.

是

子空间，

则

于是

则

注意到

是

子空间，

有

【答案】解法I 直接用整除定义.

因为f 为4次，g 为2次，故商q 必为2次；又因f 与g 的首系数相同，常数项也相同，故商q 的首系数和常数项都必为1. 于是设

比较两端同次项系数，得

由此得

且

得

解法II 利用普通除法并令余式等于零. 用g 去除f , 可得余式于是得

且

解法III 利用综合除法.

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