2017年云南大学数学与统计学院606高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解从而
线性无关.
方法2:对向量组C ，由于
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
第 2 页，共 46 页
.
）
结合E-A 可逆，得B-C=E. 3． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 4． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
由②有
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
为空间的两组基，且
第 3 页，共 46 页
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设A ，B 分别为
证明：【答案】由的，则
和
行满秩实矩阵，m+s=n，而
是半正定矩阵.
是
矩阵，故正定. 因为
所以D 半正定. 由阵.
方法5矩阵分解法等如果矩阵A 有分解式：半正定.
一般地，如果矩阵A 能分解成若干个简单矩阵的和、积等，则可能将问题化难为易，矩阵分解也是一种解决问题的方法.
7． 若以f （x ）表示实系数多项式，试证:
是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基. 【答案】显然有子空间.
取W 中元素有
另一方面，
即
有
即f （x ）可由因此，
线性表出. 为W 的一组基.
一方面，如果
线性无关.
因此W 构成
的一个
则C 列满秩时，A 正定；C 行满秩时，A
正定，D 半正定，故
半正定，即
是半正定矩
是半正定矩阵. 由B 是行满秩
是列满秩的，故
第 4 页，共 46 页