2017年厦门大学数学科学学院825高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
分别为A ，B 的伴随矩阵，
.
则
也不是线性变换，
比如给
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【解析】
4． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 5． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
的解空间分别为
二、分析计算题
6． 证明：可逆变换是双射.
【答案】设为可逆变换，即有逆变换
证明=
证明
是单射.
对
，故
：是满射. 对
即若有
是单射.
故是满射
.
找
使
用使
同乘此式两边，则左
=
右
既是单射，又是满射，因而是双射.
7． 证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为+1或-1.
【答案】设A 是一个上三角矩阵：
如果A 还是一个正交矩阵，则有
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由最后一行可得
逐行往上可得
即A 为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1. 8． 设
是数域F 上的全体
阶方阵组成的集合，设
是分块矩阵，其中&是，一阶单位矩阵，设
其中
表示X 的转置矩阵. 进一步，对任意
设
已知：
（1）求dimB 和B 的一个基. （2）证明：对任意（3）设列向量空间
都有行列式
下的度量矩阵为上述M. 证明：对任意：【答案】（1）
和列向量
将X 按M 进行分块，设
其中
由
得
于是
都有
上的双线性型（-，-）在它的基
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