2017年湘潭大学数学与计算科学学院832高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 都是4维列向量，且4阶行列式 3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， 记 A. B. C. D. 【答案】B 则（ ）. 【解析】由已知，有 于是 4． 下面哪一种变换是线性变换（ ） . 【答案】C 【解析】 ，而 5． 二次型 A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ，则 不一定是线性变换， 比如 不是惟一的. . 则 也不是线性变换， 比如给 是（ ）二次型. 是不定二次型，故选B. 由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式 从而否定D ，故选B. 二、分析计算题 6． 设 求矩阵A 的不变因子，初等因子，若当标准形，有理标准形. 【答案】因为 故A 的特征值为 的初等因子是 故A 的有理标准形为 7． 设 1 的几何重数为 不变因子是 故A 的若当标准形为 由 整除求a. b. 【答案】解法I 直接用整除定义. 因为f 为4次，g 为2次，故商q 必为2次；又因f 与g 的首系数相同，常数项也相同，故商q 的首系数和常数项都必为1. 于是设 比较两端同次项系数，得 由此得 且 得 故应 都整除f. 解法II 利用普通除法并令余式等于零. 用g 去除f , 可得余式于是得因为 且 解法III 利用综合除法.