2018年安徽理工大学应用数学810高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
则A=（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题设知，
所以
2． 设
是3维向量空间
的一组基,
则由基到基的过渡矩阵为（A.
B.
C.
D.
【答案】A
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.
）
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 不合同不相似
【答案】A
则
A 与B （ ）.
【解析】因为
A ，
B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B
合同.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
阶方阵，
且秩
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
, 故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式
使
5． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
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若选故选B.
，从而否定A , 若选, ，从而否定C ,
二、分析计算题
6． 设n 组方阵A
在复数域上全部特征值为
的全部特征值为
【答案】由若当定理, 存在可逆阵T 使
再由
设
则
即知 7． 给定
的两组基
定义线性变换
（1）写出由基（2）写出（3）写出
在基在基
到基
下的矩阵; 下的矩阵.
，则
的过渡矩阵;
的全部特征值为
. 注此结果也称为许尔定理.
【答案】 （1）令
又令过渡矩阵为
对两端将. 的表达式代入后，得到
,
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