当前位置：问答库＞考研试题

一、综合题

1． 设其中

与

均为n 元列向量, 证明:若此二向量组都线

性无关, 则交

的维数等于齐次线性方程组

的解空间的维数.

【答案】由假设知, 维数为维数为t. 又因为

故由维数公式得

由于（1）是

元线性方程组, 又

=方程组 （1）系数矩阵的秩,

故由（2）知, （1）的解空间维数.

2． 设

A 为矩阵. 证明：

【答案】令

则由分块矩阵乘法与矩阵乘满秩方阵秩不变可知：

由此即得（17）.

第 2 页，共 31 页

1）

2）

（（

3． 设n 元线性方程组，其中

（1）证明行列式

（2）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求【答案】（1）证法1记

（3）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.

:

以下用第二数学归纳法证明当当

时，时，

，所以

时结论成立. 按第一行展开得

假设结论对于小于n 的情况成立，将

故证法

2

第 3 页，共 31 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

（2）当式为

时，方程组系数行列式

，故方程组有唯一解，将

第1列换成

b ，得行列

由克莱姆法则，（3

）当

时，方程组为

此时有无穷多个解，其通解为

4． 计算

为任意常数

.

n 阶行列式

【答案】解法1从第n 行开始. 每行都减去上一行，得

再将第n 列加到其余各列，便得一个主对角线上元素为式. 因此

第

4 页，共 31 页

的上三角形行列