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一、综合题

1． 求出通过点

【答案】设球面的中心为将四个点代入，得

半径为

其方程为

的球面的方程.

易解出，而. 故此球面方程为

2． 设V 是一个线性空间,

试证, 存在

【答案】每个等于V . 必有

3． 设W

是

使

是中非零向量,

作为V 上向量的方程, 其全体解向量构成V 的一个子空间V , 且都不

所以a

满足

或

全为0,

或

全不为

的非零子空间, 对于W

中每一个向量

证明:

则线性无关.

这里

【答案】由设所以

因为

则故是W 的基, 且

及

4． 设数域P 上

矩阵F 的特征多项式为

从而对数域P 上多项式【答案】F 的特征多项式为

有于是

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当且仅当

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由于故

对数域P 上非常数多项式

设在复数域上与

故 5． 设

有公共根.

当且仅当

.

当且仅当它们在复数域上没有公共根.

则当且仅当有某

使

时

A ，B 分别为与矩阵. 则

【答案】

但

6．

设

n 阶矩阵A 的元素均为整数，有理数线性方程组

只有零解.

只要证明

的系数行列式不等于0即可.

【答案】不妨设事实上，由于

为既约分数（即

且p

与q 互质），证明:

由行列式定义知必为整数如果

即

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则有

所以 7． 设证明:【答案】因为

由

可知

是V 的一组基.

试求（1）T 在（2） T 的逆变换（3）

在

在

. 中的变换公式；

中的变换公式； 中的变换公式.

下的矩阵为A , 由①知

（2）

其中

（3）

9． 设

都是n 阶非零矩阵，满足

证明:每个

【答案】由题设，对每个的对角阵，所以只要证明每个

事实上，因依次存在

，所以对固定的正整数

的非零列

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与互质矛盾.

8． 设V 是实数域R 上三维向量空间,

又设线性变换

下

【答案】 （1）设T 在基

都相似于对角阵均有

. 可见， 即可.

.

均相似于对角线上元素为1或0