2018年桂林电子科技大学数学与计算科学学院601高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、综合题
1． 计算行列式
【答案】各列均加到第一列，提取公因子得
原式=
2． 设n 阶实方阵A 如下，试求b 的取值范围使A 为正定方阵
.
【答案】记为A 的k 阶顺序主子式，则
所以，A 为正定矩阵的充要条件是
由于A 正定的充要条件是
即
3． 记
P 为数域，假设
有特征值
为同构.
. 因为
特征值为
，它们均不是A 的特，但
均
不是A 的特征值. 试证明V 的变换
【答案】令征值，得X
，则，此说明的核
显然保持加法与数乘，下证是一一对应的.
，所以是单射，由于V 是有限维空间，所以V 是
满射，证完.
4． 下列多项式在有理数域上是否可约？
为奇素数；
为整数.
【答案】（1）如果可约则必为2个1次因式之积. 故必有有理根，但约.
（2）方法1:因为没有有理根，所以没有1次因式.
如果有2次因式则可分解成两个2次整系数多项式之积，有两种情况：
或
这两种情况都无解，故
无2次因式.
无有理根，故不可
因为这是一个4次多项式，如可约，则必有1次或2次因式. 所以这个多项式在有理数域上不可约.
方法2:取（3）记
根据艾森斯坦判别法.
不可约
. 不可约.
5． 判别下列多项式有无重因式：
【答案】因为
所以
6． 设A 为n 阶方阵. 证明：
【答案】设又因
反之，设
得：
于是必
7． 设P 是数域,
（1）证明:旦是数域P 上线性空间（2）求在基
利用艾森斯坦判别法可证这个多项式在有理数域上不可约.
作替换. 不可约，故
则
也不可约
.
有3重因式
（2）没有重因式.
则由定理可得，
故
即
的线性变换；