2018年海南大学环境与植物保护学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
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2． 设为三维单位列向量，
并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （
Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量.
又且
另外，由
故可知
为
A 的特征值，
为
4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3
个
为4
的单重特征值.
故A 有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为
3阶方阵，且
为两个正交的非零向量
，
从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
3
． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
4． 已知
故所求的方程组可取为
其中E 是四阶单位矩阵
将
代入得，
构
解得此方程组
是四阶矩阵A 的转置矩阵，
求矩阵A
【答案】对作恒等变形，有
即
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由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
二、计算题
5．
设矩阵
程Ax=b的通解.
【答案】显然，这是一个四元方程. 先决定系数矩阵A 的秩.
因又
能由
线性表示
线性相关
线性相关（部分相关则整体相关）
综合上面两个不等式，有R （A ）=3, 从而原方程的基础解系所含向量个数为4-3=1.进一步，
是方程Ax=0的解
是它的基础解系，
又
是方程Ax=b的解.
其中线性无关
，，向量
线性无关，故
，求方
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