2018年海南大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
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2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（二）.. 10 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（三）.. 17 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（四）.. 28 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（五）.. 35
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
由
贝腕阵的列向量（即矩阵
A
的行向量）是齐次线性方程组的解.
对
作初等行变换，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
3． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
4． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
其中t 为任意常数.
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B 的特征值全大于
0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
二、计算题
5． 在R 中取两个基
（1
）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2
）求向量
【答案】（1）显然有
在后一个基下的坐标；
（3
）求在两个基下有相同坐标的向量
所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基
下的坐标为
则由坐标变换公式，有
（3）设向量Y 在两个基下有相同的坐标
为Y ，则
，由坐标变换公式并仍记坐标向量
即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,