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一、解答题

1．

已知

对角矩阵.

【答案】A 是实对称矩阵

，

可得a=2.

此时

是二重根，

故

于是

必有两个线性无关的特征向量，

于是

知

是矩阵

的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q

使

为

解（2E-A ）x=0,

得特征向量将

正交化：

解（8E-A ）x=0，

得特征向量先

再将单位化，得正交矩阵：

且有

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2． 设线性方程

m

【答案】对线性方程组的增广矩阵

试就

讨论方程组的解的悄况，

备解时求出其解.

作初等行变换，

如下

（1）当

即

且

时

则方程组有惟一答:

（

2）当

且

即

且

时

则方程组有无穷多

可得其一个特解

解. 此时原方程组与同解，

解得其基础解系为

为任意常数. 此时方程组无解.

时

的基础解系是

与由

的解. 对

故原方程组的通解为

（3）当（4）当

3

． 已知A 是

即

矩阵，

齐次方程组

时

此时方程组无解.

又知齐

次方程组Bx=0的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A

;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组【答案】（1）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为由

线性表出，故可设

于是

则既可由线性表出，也可

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对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为 4．

已知

，求

其中t 为任意常数.

【答案】

令

则且有

1

所以

二、计算题

5． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.

【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.

若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.

6． 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样？

【答案】由矩阵秩的性质，

有

7． 设