2018年海南大学环境与植物保护学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
数.
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
将
代入得，
构
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
故所求的方程组可取为
解得此方程组
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
故f
在正交变换下的标准形为
二、计算题
5． 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样？
【答案】由矩阵秩的性质，
有
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
6． 设3阶对称阵A
的特征值为与特征值
A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A
的对应于特征值
由对称阵特征向量的性质知
，
其系数矩阵
与
和
都正交，即有
的秩等于1. 于是
，是它的一个基础解系，取其为
（2
）把向量组用施密特方法正交化，得
（3
）分别把向量令
，单位化，得
于是
则Q 为正交矩阵，
并有
方法二：因A 是对称阵. 故必存在正交阵Q ，使也即
（1）并且，若Q
按列分块为
则向量
是对应于特征值
位特征向量. 于是，由题设
由⑴式得
的单
于是
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