2017年内蒙古师范大学化学与环境科学学院601高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 抛物面最大值与最小值。
【答案】设椭圆上的点为
，则椭圆上的点到原点的距离平方为
满足条件：
作拉格郎日函数
令
。
被平面
截成一椭圆，求这椭球上的点到原点的距离的
，得
式（9-4）-（9-5）
故有由将解得
于是得到两个可能的极值点
由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取得。而
故最大值与最小值分别为
或。
，不合题意，故舍去。
代入和，得
2． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
3． 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性：
【答案】（1）
因为
所以
而级数（2）
收敛，从而原级数在
因为
上一致收敛。 所以
而级数（3）
收敛，从而原级数在
由于当
上一致收敛。 时，
故
而级数（4）
（-10, 10）上一致收敛。
（5）
由于
故
而级数
收敛，从而原级数在
上一致收敛。
）：
【答案】（l ）曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于z 轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于z 轴上，即有
。立体的体积为
。
收敛，故原级数在
上一致收敛。 而级数
收敛（收敛于
）故原级数在
4． 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度
故所求质心为
。
（2）立体由两个同心的上半球面和xOy 面所围成，关于z 轴对称，又由于它是匀质的，故
相关内容
相关标签