2017年内蒙古师范大学科学技术史研究院831高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由
，知α=
，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
；（2）
；（3）
，问这些向量
直于xOy 面.
2． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得
将x=1, y=1, 得
（2
）令
代入上式。得故所求特解为
则原方程化为
代入初始条件
得
代入初始条件（3）在方程
得C 2=0.故所求特解为两端同乘以
则有
即
即原方程的通解为
分离变量并积分
从而有
于是
得
即
有初始条件
则
且原方程化为一阶线性方程
即
于是
代入初始条件故有取
分离变量并积分代入初始条件
得即
并因
时，
故上式开方后
得得
故所求特解为
因
即
不
（4）由原方程对应齐次方程的通解为是特征方程的根，故
令
比较系数得并有代入初始条件即
故所求特解为
故
有
是原方程的特解，并代入原方程，
得且原方程的通解为
3． 求下列常系数线性微分方程组的通解：
（1）
（2）
【答案】（1）记则有即
方程组可表示为
有
根
方程③对应齐次方程的特征方程
为
是特征方程的根，故令
即
于是方程③的通解为
而
可得
是方程③的特解，代入③中并消去
又由方程①得
即可解得
故方程组的通解为
4． 计算下列反常积分：
（1）（2）
【答案】（1）x=0为被积函数
的瑕点，而
故又
收敛。
，而
因此
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