2018年北京信息科技大学理学院610数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设
（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在
上是否收敛于f , 是否一致收敛于f? 上为奇函数, 故
所以f 的傅里叶级数展开式为
（2）因为f 在
上除x=0外都连续, 故当
又当x=0时, 级数收敛于
当
时, 级数收敛于
由此可见, f 的傅里叶级数在由于f 在
上收敛于f.
上一致收敛于f , 这就与f 的不
_上不连续, 由连续性定理, 若级数在
, 且
时, 有
连续性相矛盾, 故f 的傅里叶级数在上不一致收敛于f.
2． 求锥面被柱面所截部分的曲面面积.
【答案】由于曲面在xy 平面上的投影区域为
设曲面面积为S , 则
3． 判别下列反常积分的敛散性, 若收敛, 指出是绝对收敛？还是条件收敛？
（1）
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, 且
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（2）（3
）（4）（5）
【答案】 （1）
其中
易知, 当p>1时绝对收敛; 当又因为
而
所以当综上所述,
当p>1时绝对收敛, 当（2）
其中x=0为
的瑕点, 因为
与
同阶, 所以
收敛, 因,
因为X>1时有
, 所以
, 由泰勒公式得
所以
而
条件收敛,
绝对收敛, 故原积分条件收敛.
是
阶无穷小, 又
第
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时条件收敛.
时绝对收敛;
当时
发散.
时条件收敛, 当时发散.
为绝对收敛.
对积分
（3）易知, 当时, 被积函数关于
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而是瑕点敛）
（4）由于同理, 由于
, 故原积分仅当且时收敛（绝对收
, 所以当0 时发散 时发散, 故当0 , 所以当0 时收敛, 当 收敛（绝对收敛）, 其余均发散. （5）由于 故积分 4． 在抛物线 【答案】设 收敛（绝对收敛）. 哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短. 为抛物线 上的一点, 则过该点的切线斜率为: 故点 处的法线方程为: 设法线与抛物线 的另一交点为 , 则由韦达定理可知, 两交点的距离d 满足 令由 5． 设 【答案】 由又 计算积分 而 收敛可得级数 在[﹣1, 1]上一致收敛. , 得 , 则 . 故所求点的坐标为 , 在[﹣1, 13]上连续, 从而由定理知 6． 计算下列各题: （1）（2） 第 4 页，共 37 页
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