2018年渤海大学数理学院628数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:函数
【答案】因为
所以
2． 求证:
（1）（2）
【答案】（1）已知序列
严格递增, 且
（*）
又设
.
显然
.
（a , b 为常数）满足拉普拉斯方程:
再根据n+2项的平均值不等式, 有
（**）
联合（*）与（**）式即得
（2）记
, 由第（1）小题结论, 有
再由第（1）小题结论, 有
即
有下界,
从而极限
存在.
在x 0处有左、右导数; 令
, 使
【答案】令
则
而
由致密性定理, 令q=l—p , 则
4． 设
（
1
）
均有【答案】
处处连续
,
对任何
x 有连续导数；
上, 当足够小时, 可使
）.
与
一致逼近（即任给
,
对一切
其中为任何正数, 证明:
有收敛子列
使
又设
3． 设
f （x ）定义在[a, b]
上
证明:存在子列
（2）在任意闭区间
因为
处处连续, 所以
连续, 即
对任何x 有连续导数.
所以由洛必达法则可得
故对任给
当足够小时, 对一切
均有
即所证结论成立.
二、解答题
5．
求
【答案】
6．
试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限
.
【答案】在柱面坐标系下
, 用
z=c的平面截立方体
, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为
在球面坐标系下, 用
的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为
和
和
其中
.