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一、证明题

1． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对存在

使得

在n －1个区间

使得

的n+1个相异的实根为

, 即

, 即

, 并且

至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知,

至少有n －1个相异实根. 如此继

上应用罗尔中值定理知, 有n+1个相异的实根, 则方程

至少有一个

续下去可得, 至少有n －2个相异实根, 至少有一个实根.

2． 设p （x ）为多项式, 为p （x ） =0的r 重实根. 证明必定是的r －1重实根.

【答案】因为为于是

的r －1重实根 , 则f 在

且（或

上恒正.

, 由题设知

上恒正或恒负. . 假如

,

那么

与. 这与

的r 重实根, 所以

其中q （x ）为多项式, 且

,

又因

3． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且对任何

【答案】设题设矛盾. 故

.

设

, 即f 在

异号, 由根的存在定理知, 在区间

, 故是

）内至少存在一点, 使得时同理可证f （x ）恒负.

二、计算题

4． 求下列不定式极限:

【答案】 （1）（2）

.

（

3）（4）

.

（5）（6）

（7

）

因为所以

（8）（9）（10）

（11）

（12）因为

,

.

,

,

.

所以

5． 试证函数系cosnx （n=0, 1, 2

,

…）和

sinnx （n=l, 2,

…）都是合起来的不是

上的正交函数系.

【答案】对于函数系cosnx ; （n=0, 1, 2, …）, 因为

上的正交函数系, 但它们

又n=0时, cosnx=l,

时,

所以, 在三角系cosnx （n=0, 1, 2, …）中, 任何两个不相同的函数的乘积在等于零,

而任何一个函数的平方在

上的正交函数系.

对于sinnx （n=l, 2, …）, 因为m ≠n 知时,

所以函数系

sinnx （n=l, 2, …）也是

上的正交函数系.

所以该函数系不是

对于函数系1

, cosx , sinx , cos2x , sin2x , …, cosnx , sinnx , …, 因为上的正交函数式. 6． 求

【答案】因为

所以

上的积分都

上的积分均不为零,

所以函数系cosnx （n=0, 1, 2, …）为