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一、证明题

1． 证明:

对

一致收敛.

【答案】这个积分有无穷多个奇点, 所以需要将这个积分写成级数形式

.

（令

对I 1而言, t=0为奇点. 由对I 2而言,

综上可知,

2． 设

为奇点. 由

在[0, b]上一致收敛.

f

:

, 且存在正实数

与

利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为

, 有

所以

3． 设f 为

, 即f

:

, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.

存在, 且

【答案】

取

, 即f （x ）在于是对任给的并当

因为f

为

上有上界. 由确界原理知存在时, 有

使得

在

令即

上的增函数,

所以对

上有上确界, 令

则

故

有

, 对一切

, . 满足

及及

（b < 1）的收敛性知, I1在[0, b]上一致收敛. （6 < 1）的收敛性知, I2在[0, b]上一致收敛.

）

上的递增函数. 证明

二、解答题

4． 设

【答案】

这里max 表示取最大值函数, 求的原函数为

. 当

时, 有

的原函数.

当

时, 有

所以

的原函数为

.

5． 求下列曲线的弧长:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）

（2）曲线的参数方程为

, 于是弧长

（3）

（4）

如图所示. （5）

（6）

;

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图

6． 设方程组

试问:（1）在什么条件下, 能确定以x , y ,

v 为自变量, u , z 为因变量的隐函数组? （2）能否确定以x ,

y,

z为自变量, u , v为因变量的隐函数组? （3）计算

【答案】（1）令

则 F （x , w ） =0. 因为

所以根据定理可知, 当

f ,

g 可微, 偏导数连续, 且为自变量, u , z为因变量的隐函数组. （2）令

则因为

不能确定以x , y , z 为自变量, u , v为因变量的隐函数组.

时能确定u , z

.

时, 能确定以x , y , v

所以方程组为x , y , v 的隐函数组, 有

（3）由（1）知当f , g 具有一阶连续偏导数, 且