2017年渤海大学数学物理方法(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数
满足微分方程
且
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
2． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
函数取得极大值函数取得极小值
且
得
可
即
知
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
, 对于
，上任一点P （x , y ）
3． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
2
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，积分得。
，
即得微分方程
，因
，故有
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
4． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
代入初始条件
，得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
于是
有积分
得代入初始条
件
得
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
二、计算题
5． 求螺旋线
【答案】
点（a ，0, 0）所对应的参数于是切线方程为
即
法平面方程为
即
6． 求下列函数
（1）（2）（3）【答案】（1）
.
； 和
： ；
在点
，故曲线在给定点的切向量
处的切线及法平面方程。
（2）
（3）
7． 计算抛物线y>0，故有
8． 把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为а的一扇形后围成一无底圆锥。试将这圆锥的体积表为а的函数。
【答案】设围成的圆锥底半径为r ，高为h ，则按题意（图）有
从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
图
故