2017年大连理工大学数学之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知，镭经过1 600年后，只余原始量R 0的一半. 试求镭的存量R 与时间t 的函数关系.
【答案】设在时刻t ，镭的存量为
，即
。
，将t=1600，
，代入上式，得
，即
，
，由题设条件知，
，即
，
积分得
R=R0，因t=0时，故C=R0，所以
。
2． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关，因此本题中除了
（2）（3）（7）
即（2）（3）（7）中的函数组线性相关外，其余的7个函数组中两函数之比不是常数，从而线性无关。
3． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）
=x此为曲线方程所满足的微分方程.
2
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
4． 已知函数
满足微分方程
且
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
函数取得极大值函数取得极小值
且
得
可
即
知，即微分
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
二、计算题
5． 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ，于是分布在区间[0，x]上细棒的质量m 是x 的函数m=m（x ）。应怎样确定细棒在点x 0处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）?
【答案】在区间[x0，x 0+△x]上的平均线密度为
在点x 0处的线密度为
6． 确定λ的值，使得在不经过直线y=0的区域上，曲线积分
与路径无关，并求当L 从点A （1, 1）到B
（1, 2）时I 的值。
【答案】由于曲线积分与路径无关，则
，即
。
解得，故当时，曲线积分与路径无关。即
7． 求下列向量场A 沿闭曲线（从x 轴正向看依逆时针方向）的环流量：
（1）（2）
【答案】（1）的参数方程为
，为圆周（c 为常量）
，其中为圆周
；
。
t 从0变到2π，于是所求环流量为
（2）是xOy 面上的圆周
，
它的参数方程为（从z 轴正向看依逆时针方向）
t 从0变到2π，于是所求的环流量为
故得