2017年大连理工大学数学之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
2． 求下列伯努利方程的通解
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故即
为所求通解。
并
令
则
且原方程化
为
，并令
，代入
即
得
，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
（2）将原方程改写
成
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成于是原方程化为
即
为所求通解。
并令
故原方程的通解为（5）原方程可写成且原方程化为
故原方程通解为
或写成
，并令则
（4）将原方程改写成且原方程化为
则
即
令z=y, 则
-2
3． 若函数恒满足关系式就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
4． 设函
数
，…设
【
是曲线
答
，定义函数
列
案
，
，…，
； 】
，直线x=1，y=0所围图形的面积，求极限
，则
，
利用数学归纳法可得，，则
故
二、计算题
5． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
6． 求出曲线
【答案】因为量可取为
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
。
，
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得