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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 证明:

【答案】方法一用积分中值定理. 因为

而

所以

方法二用分部积分法. 因为

而

所以

故

2． 设

【答案】

因为

. , 所以

3． 证明:若

（1）

, 则

, 其中

. 证明

.

,

于是

.

又因为

,

, 所以存在N , 当n>N时,

有

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（

2）

【答案】

（1

）令从这个等式中解出因为

, 所以

, 在区间得,

. 又因为

上应用拉格朗日中值定理, 得

所以

（2）

4．

设f 为连续函数,

u 、

v 均为可导函数

, 且可实行复合

与

证明:

【答案】取f （x ）定义域内一点a , 则

则

, 且

于是

令

,

二、解答题

5． 在抛物线

【答案】设

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.

为抛物线

上的一点, 则过该点的切线斜率为:

故点

处的法线方程为:

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设法线与抛物线的另一交点为, 则由韦达定理可知, 两交点的距离d 满足

令由

, 得

, 则

. 故所求点的坐标为

,

6． 周长一定的等腰三角形中, 腰与底成何比例时, 它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？

【答案】设周长为, 腰长为X , 底长为2y , 则有

于是, 旋转体体积为

由此推出

7． 计算线积分

【答案】如图所示

所以

, 其中ABC 为三点A （1, 0）, B （0, 1）, C （﹣1, 0）连成的折线. ,

及

. 即腰与底的比为时, 旋转体的体积最大.

, 即

. 等腰三角形绕底边旋

, 底面半

径为

转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的, 其中每个圆锥高

为

图

8． 计算积分

其中S : x+y+z=t,

【答案】将z=t－x －y 代入

整理可得:

由此可知, 当当

时, 平面S 在球

内;

之外, 所以

时, 平面S 在球