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一、解答题

1． 设

且试证

因此,

又因为当

时

t

当

在[a, b]上一致收敛, 由柯西收敛准则,

有

于是有

由柯西收敛准则, 得

在[a, b], 上一致收敛.

2． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积

.

在

【答案】由一致连续性定理可知,

在

. 上连续, 又有函数列

上也一致收敛.

在

上也一致连续.

且时, 有

在

上一致收敛,

图

【答案】椭圆柱面的方程为的性质有

, 解得

.. 于是

故所求体积

3． 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:

（1）（2）

. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形

（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）

由

4． 叙述函数极限

由由

由

复合而成. 复合而成.

复合而成.

复合而成.

的归结原则, 并应用它证明

内有定义,

的数列内有定义. 且不存在. , 其中L 为球面

:与平面x+y+z=0的交线 但

极限

不存在

存在的充要条件是: 都存在且相等.

【答案】（1）归结原则设f 在对任何含于（2）证明如下:则有由归结原则知

5． 计算

且趋于在

【答案】方法一 （用参数方程求解）将z=﹣x —y 代入球面方程整理可得

令

, 代入上式得

, 所以

于是

方法二 （用对称性求解）由于积分变量x , y , z 在曲线方程中具有轮换对称性（即三个变量轮换位置, 曲线方程不变）, 所以

故

6． 设

⑴求（2）计算

;

.

为奇点. 记

则

显然当x →1时当对积分

,

由判别法可知,

在

,

及

的收敛性, 利用M

时,

在与

均在

. 上收敛.

上连续. 对积分

,

【答案】（1） x=1和

由此可知,

上关于一致收敛. 于是, 由可微性定理, 有

（2）因为此时,

注意到g （0） =0, 于是当

, 所以 时, 有

是关于的奇函数, 因此只需考虑的情形即可.

故