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一、证明题

1． 任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

2． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

3． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

其雅可比（Jacobi ）行列式为合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

这是指数分布就证明了 4． 设明:

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨

设

又因为

否则

令

. 因为

故有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

是样本, 证明

则

由

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是. 这

为绝对收敛级数. 令证

, 并讨

论即可.

由

知

为绝对收敛级数, 可记

5． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

6． 设总体二阶矩存在,

与

的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

由于,

因而

所以

7． 设随机变量

【答案】因为

中任意两个的相关系数都是p , 试证:

所以 8 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，Var （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是

的线性无偏估计类

中方差最小的.

的样

该无偏估计为

由此得

中抽取容量为

，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

二、计算题