2017年山西大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
在原假设由等式
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
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确定. 为了确定c , 需要充分统计量
时
，
由此可
得
的分布.
或
者
利用分布的分位数可确定临界值c.
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
时，
所以 c=21.887.
时，将拒绝原假设
认为
可知从而有
在原假设成立下，有
这
里可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理
知
, 从而有
故由等式可得记
为标准正态分布的分位数，则有
即
若n=15,
查表得
从而
2． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=
不相关但不独立. 【答案】因为
与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得
所以X 与
不独立.
试证：A 与B 独立.
得
再由上题即得结论.
3． 设0 【答案】由条件 所以 这表明:X 与 现考查如下特定事件的概率 不相关. 为证明X 证明:X 与 4． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为 的泊松分布. 【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有 第 3 页，共 37 页 这表明：Y 服从参数为 5． 设计. 【答案】由于 独立同分布， 的泊松分布. ，证明： 是的相合估 这就证明了 6． 设 是来自泊松分布 ，是的相合估计. 的一个样本. 在显著性水平为时给出其拒绝域； （2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题 的显著性水平为的显著性检验的拒绝域； （3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1）泊松分布 的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设 成立， 则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设 所以此检验的拒绝域应有如下形式 其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定 或 由于原假设成立下 则由 可得 不是一件易事. （2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为 其中m 为如下整数 第 4 页，共 37 页 （1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题 故 若令泊松分布 的 分位数为这里 的寻求还 所以在给定理时，该检验的拒绝域为