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一、证明题

1． 设

则

为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.

的方差一致有界, 即存在常数c 使得

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

2． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.

再证必要性, 若

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,

故则

是实的偶函数.

成立.

由于-X 的特征函数为所以

3． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

4． 从正态总体

中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不

，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以

故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

5． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

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先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因

所以得, 即

管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

【答案】设的先验分布为中

其

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

常记为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若

与

相互独立, 则

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

的柯西分布.

（2）当所以

由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3

）设得:

即

的特征函数为

不能推得X 与Y 独立.

, 由相互独立性

都服从参数为的柯西分布,

则特征函数为

时有

,

,

服从参

这正是参数为数为

与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布.

，求

，证明：

及偶函数性质可得

6． [1]设随机变量

[2]设

【答案】利用变换

[2]在题[1]中令即可得结论.

7． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:

【答案】

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8． 设总体μ，则

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

的无偏估计，设

是0的任一无偏估计，

为样本，证明，

分别为

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了

由此可得到的UMVUE.

因而

二、计算题

9． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率.

【答案】设事件A 表示“三枚硬币中至少出现一个正面”.若用“0”表示反面，“1”表示正面，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有八个等可能样本点：

由于事件A 含有其中7个样本点，故P （A ）=7/8.

10．设随机变量X 服从二项分布b ，随机变量Y 服从二项分布b . 若（2，p ）（4，p ）试求

【答案】从

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中解得p=2/3.由此得