2017年上海财经大学经济学院807实变函数与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道
结果又是如何?
是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾
是θ的置信水
平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事
【答案】设
客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在θ未知时，有
从而
即
这说明
区间的长度不超过2d ，即得
若α=0.05，
对第二个问题，当己知时，由于
在
当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得
（或已知
是增函数，所以
样本量
，处理方法完全一样））
从而
这说明
信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到
譬如，
若已知
（即
）则
是θ的置信水平1-α的置
于是关于样本量的要求化为
与θ完全
是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信
随d 的增加（精度减少）迅速降低.
仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得
那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.
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未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过
2． 已知
【答案】
3． 设随机变量X 服从区间（2，5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.
【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为
，由此得
设Y 为此种观测（X>3）的次数，则Y 〜b （3，2/3）
4． 甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷. 每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷. 试求第n 次由甲掷的概率.
【答案】设事件
为“第i 次由甲掷骰子”，记
所以由全概率公式
得
由此得递推公式
所以得
将
代入上式可得
由此得
由此可见，
这表明：骰子一直由甲掷的机会只有1/2
，其中未知，则有
5． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：mk ）服从均匀分布假设的先验分布为‘求后验分布.
【答案】
与的联合分布为
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假如此人在三个早上等车的时间分别为5, 3, 8min ，
此处
于是的后验分布为
6． 在（0，1）上任取一点记为X ，试求
【答案】
由
解得
是开口向上的，故有
所以
7． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15个男子，（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm ，过了一个月再测量厚度，得到数据如下：
表
问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设..
来自正态总体，结论是什么？
（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？
【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值，则需检验的假设为
由于
的P 值为
p 值小于0.05，在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5，故符号秩和检验统计量为，这是一个单边假设检验，
检验拒绝域为
号在使用中是完全等价的）
下，查表13可知
A 制成的后跟比材料B 的耐穿，二者结果一致。
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所以与的联合分布为
因为
又因为二次函数
此处15个差值为
故可算出检验统计量值为
于是检验
（正号和负
在给定
观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料