2017年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计
令
们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
这说明
于是
因而
2． 设
是来自
的样本,
为其次序统计量, 令
证明【答案】令作变换
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
3． 设随机向量（
令
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是其样本，
，证明：
是θ的充分统计量，则对
这说明，在均方误差准则下，人
相互独立.
则
的联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为, 联合密度
相互独立,
且
）间的相关系数分别为且
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
4． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即
5 来自正态总体．对称, 且
【答案】记正态分布的样本中位数
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中
可得
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【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
令
时, 有
时, 有
当, 结论得证.
的容量为
的样本中位数是
证明
的密度函数关于
f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（
与
分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质
这表明密度函数与E
6． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
是偶函数, 从而
g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有
【答案】（反证法）假设的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即
7． 设
没有无偏估计.
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
8． 设
为来自指数分布
服从大数定律. 的样本，
为来自指数分布
的样本，且两组
, 有
又设
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
而
在
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由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计为