2017年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． [1]如果
试证: （1）（2）[2]如果
【答案】（1
）因为
时
即
（2）先证
明
成立, 进一步由
. 对任意
的
成立, 对取定的M , 存在N , 当
这时有
从而有
由即[2]若对任意的
的任意性知
成立.
是m 次多项式函数, 即
取M 充分大,
使有于是有
对取定的M ,
因为
是连续函数,
所以可以用多项式函数去逼近
, 使得
当
所以存在
因为
并且在任意有限区
时,
有使当
间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项
式
对取定的m 次多项式
时, 有
第 2 页，共 39 页
是直线上的连续函数, 试证:
,
可得
所以又有
取M 足够大（譬
如
时, 有
成立. ）, 使
有
,
故当
有
同理可证由上面（1）得
则由题[1]知有
,
又选取
下证一般情况,
充分大,
使当
时,
有
又因为
当又因为
且
所以
从而有
由
2． 设
证明:
的任意性即知
为独立的随机变量序列, 且
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
3． 设随机变量
服从大数定律.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
4． 设0 【答案】由条件 5． 设 得, 所以由 诸 的相互独立性 得 特征函数 为 的独立性可得 【答案】因为 , 结论得证. 时, 有 独立同分布, 且 的特征函数, 由唯一性定理知 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 是来自二点分布b （1, p ）的一个样本， （1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是 的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为 第 3 页，共 39 页 由此可见（2） 是的无偏估计. 是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为 是p （1-p ）的一个无偏估计. 是1/p的无偏估计，则有 由此可见 （3）反证法，倘若 或者 上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在. 6． 设随机变量序列 独立同分布, 其密度函数为 试证: 【答案】因为当x<0时, 有 当 ‘所以, 对任意的 时, 有 , 当 所以有 7． 设随机变量 【答案】因为 所以 8． 设 是来自 由此得 的样本, 为其次序统计量, 令 证明【答案】令作变换 第 4 页，共 39 页 其中常数而当时, 有 , 令 时, 有 结论得证. 中任意两个的相关系数都是p , 试证: 相互独立. 则 的联合密度函数为