2017年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
2． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
使当
使有时, 任对
, 有
弱收敛于分布函数
且
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
关于x 是一致的,
和
都是连续、严格单调函数,
又设
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
即成功概率p 的后验分布为
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
分布族.
3． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
4． （1）设布函数
其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
做变换
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分
时, 样本极差的分布函数.
其逆变换为
雅可比行列式绝对值为,
于是与
（2）对于指数分布由（1）中结果, 有
5． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
6． 设X 为非负连续随机变量，若
（1）（2）
存在，试证明：
又由（1）知
知
所以有
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
7． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
8． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:
【答案】
即A ，B 相容.