2017年青岛大学自动化工程学院619概率论及数理统计(1)考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
即X 与Y 不相关.
2． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
3． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
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则X 与Y 有函数关系. 试证:X
【答案】
4． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
故
即
更有效.
知两者均为的无偏估计.
事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.
5． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
6． 设
分布为来自
的特征函数, 由唯一性定理知的i.i.d 样本，其中
）.
两个参数空间分别为
利用微分法，
在
下
于是似然比统计量为
分别为
的MLE.
而在
下
的MLE
为
样本的联合密度函数为
未知. 证明关于假设
, 且X 与Y 独立,
则
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
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在
时
由于
故只需考虑
的情形，此时A 为
的单
调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域
由t 检验的结论知，
7． 设
为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且服从大数定律.
, 且X
的特征函数, 由唯一性定理知
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
8． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
【答案】因为
这就完成了证明.
二、计算题
9． 设
是来自几何分布的样本，总体分布列为
θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；
（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为
于是
因此，θ的后验分布为
（2）当有观测值为4, 3, 1，6时，θ的后验分布为Be （5, 15）, 若采用后验期望估计，则有
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