2018年东华理工大学理学院818高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
3． 设A 为常数，则
A. B. C.
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并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
秩A , 则线性方程组（ ）.
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
阶方阵，且秩
矩阵，
秩
的3个线性无关的解，
为任意
是非齐次线性方程组
的通解为（ ）.
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D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
4．
设行列式
是. （否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解，
的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
的一个特解，所以选C.
为A.1 B.2 C.3 D.4
，则方程，
的根的个数为（ ）
【答案】B
【解析】
因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
与
分别为A , B 的伴随矩阵，
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B , 则有（ ）.
A. 交换A *的第1列与第2列得B * B. 交换A *的第1行与第2行得B *
C. 交换A
*的第1列与第2列得- B* D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
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*
*
所以有
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所以有
即题设
因此
即
右乘初等阵
所以
得
解法2
二、分析计算题
6．
设
明:
维欧氏空间的两个线性变换都有
【答案】由题设
任绐则
令
在V
的基
下的矩阵分别是A 和B 证
则存在正定矩阵P , 使
同理
令基
的度量矩阵为P , 则
同理
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