2018年东北大学秦皇岛分校814代数基础之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且
【答案】因为
而AB=BA, 所以有
故有
即
2． 设
又若
都是
中的非零多项式，且
证明：不存在
使①式成立，则用
矛盾.
线性无关的充要条件是A 的
线性无关，所以可令
这里且
使
证明：
【答案】用反证法，若存在
由②式有
但
所以
这与
3． 设A 为n 阶复方阵. 证明:存在一个n 维向量使每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量.
【答案】取
且由
由于
，使n 维向量组
，则P 是可逆矩阵，
乘①式两端，得
由此可得A 的不变因子为令
则A 的初等因子为
从而有A 的若当标准形
可见量.
.
. 所以
所以A 的每个特征子空间的维数均为1，即A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向如果A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量, 则对A 的任一特征
根
从而A 的若当标准形
右
中不同若当块的对角线元素互不相同, 因此A 的特征多项式与最小多项式相等. 设A 的最小多项式为
则A 与
有相同的不变因子，因而A 与B 相似. 令则即
，且,
4． 设
与
是数域P 上两个线性无关的n 维向量组，证明：
的维数等于齐次线性方程组
（1）的解空间的维数.
【答案】方程组（1
）的系数矩阵是空间W 的维数是
由维数公式，得
未知量的个数为因而解
这里注意到：向量组
与
等价，其秩相等.
5． 设T 是酉空间V 的一个线性变换, 证明:下面四个命题互相等价.
（1） T 是酉变换； （2） T 是同构映射； （3）如果【答案】（1）取令
是标准正交基, 那么（3）设T 是酉变换, 即
为V 的一组标准正交基, 且
为A 的列向量, 由①有
所以（3）令
也是标准正交基.
（4）任取V 的一组标准正交基
其中
为列向量, 则
由⑤知B 为酉矩阵. （4）
（2） 取V 的一组标准正交基
设
由（4）知D 为酉矩阵, 令
其中D. 为列向量. 则
也是标准正交基；
（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵.
. 由（3）知
也是标准正交基, 且
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