2018年北京师范大学数学科学学院955专业综合一(高等代数,空间解析几何)之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
能被【答案】因为再设并把
的
都是多项式整除. 证明:每个
整除个根为
且
（6）
的所有系数之和都等于零. ，故可设
（7）
它们都是n 次单位根，即有
依次代入（7）, 则由（6）得
如果令
（8）
这是关于且
亦即
互异，故
的一个齐次线性方程组，由于其系数行列式D 是一个范德蒙德行列式. 从而（8）只有零解，即
得证.
试证明
：的行元素和必为
2． 如果非奇异n 阶方阵A 的每行元素和均为
【答案】由假设有
由A 非奇异，从而A 可逆，用
左乘①式两端得
所以
，
此即的行元素和为
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3． 设A ，B 分别为
【答案】
与矩阵. 则
但
4．
设A 是
n 阶方阵，且
【答案】解法1因为
（E 是n 阶单位矩阵，
，是A 的转置矩阵）
求
.
所以又因为解法
2因为
所以
.
f
所以
由于所以
.
当当
时，有时，
从而
5． 设A 为n 阶方阵，证明:
【答案】当而所以
时，有
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显有
当结合故仍有
6． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3, 向量方程组
的两个解.
（1）求A 的特征值与特征向量； （2）求正交阵Q 和对角阵A , 使（3）求A 及
其中E 为3阶单位矩阵.
是线性
时知
时，有
【答案】（1）由于A 各行元素之和为3, 所以
因为故
即
是A 的二重特征值,
是A 属于特征值0的两个线性无关特征向量, 且A 属
是A 的一个特征值,
是A 属于3的全体特征向量.
再单位化
得
令（3）因
那么Q 为正交矩阵, 且
且Q 为正交矩阵, 故
由此得,
所以
7． 设A , B 为n 阶方阵. 证明:
于特征值0
的全体特征向量为A 属于3的特征向量, 且
（2）对
正交化, 令
是