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一、分析计算题

1． （1

）设

明:

不是

是线性变换的特征向量；

是

的两个不同特征值

,

是分别属于

的特征向量，证

（2）证明:如果线性空间V 的线性变换以V 中每个非零向量作为它的特征向量. 那么数乘变换.

【答案】 （1）反证法. 设

于是

因故量. 由（1）

知是数乘变换.

2． 设矩阵

的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.

，属于同一个特征值. 因此V 中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量，

不全为零. 但由定理8，

不能是特征向量.

由题设它们都是

是线性无关的，矛盾.

（2）任取V 的两个非零向量的特征向量，且它们的和也是特征向

就

【答案】计算可得A 的特征多项式为

若解得当

是特征方程的二重根, 则有

时, A 的特征值为

的秩为1, 故

对应的线性无关特

征向量有两个, 从而A 可相似对角化.

若

不是特征方程的二重根, 则

为完全平方, 从而

解得

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当时,

A

的特征值为

2,

4, 4, 矩阵的秩为2, 故对应的线性无

关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.

3． 设A 是反对称矩阵,

则

是正交阵.

【答案】

同样可证

4．

设

是方程

的三个根，计算

【答案】由根与系数的关系，知

将

值代入：

5． 试证:n 维欧氏空间的内积是一个双线性函数.

【答案】

. 是V 上一个二元函数，且.

是一个双线性函数.

. 有

表成

的多项式，

并将它们的

故

是正交矩阵

.

二、证明题

6． 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证

【答案】设

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则

于是

7． 设

【答案】设

（2

）

证法1由上知但因为

又因为

，故

，故：（可令

. 下再证

因为：

首系数是1, 故

是

即（1）式成立. 的公因式，且存在多项式

从而存在多项式的任何公因式都是

及使

的因式. 因此，

是

与

使

（3）

又因

故由互素性质知

（4）

（3）与（4）式两边相乘后可知，的

最大公因式，即（1）式成立•

8．

证明:可逆变换是双射.

【答案】设证明则左=证明

为可逆变换，即有逆变换

，若有，右= ，即是单射.

, 是满射. 对找使

. 可令

，则

故是满射.

使. 用

.

同乘此式两边，

是单射. 对

证法2由（2）知：

，故

其中

.

首系数是

1）. 从而

证明:

（1）