2016年中国刑事警察学院高等数学(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知
【答案】因为
于是
2． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.
，由向量的几何意头知
【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）
而
，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。
故设当
，
则由
时，△ABC 的面积取得极小值，由于驻点唯一，故当
得
.
因
，故
，即C 的坐标为（0, 0，）
时，最小.
3． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心
角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为
, 又
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故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
时,
, 故V 在
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
图
4． 计算
【答案】添加曲面根据高斯公式得
，面
记
所围成的区域，关于xOy 平面对称，可知
令
。
。则
，其中
取与y 轴正向相反的一侧。
，
其中
为曲
取外侧。
又
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其中
关于x 轴对称，故
5． 计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（如图所示）
图
R]，【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[-R，相应的截面等边三角形边长为面积为
6． 求出曲线
【答案】因为量可取为即
，解得
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
和
，于是所求点为
。
，
。
，因此体积为
，
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
二、证明题
7． 证明恒等式:
【答案】令函数因取x=0, 得
, 故。因此
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。 ,
。
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