2016年中国民航大学航空安全研究所高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求曲线
在点
处的切线方程和法线方程。
，在曲线方程两端分别对x
【答案】由导数的几何意义知，所求切线的斜率为
求导，得，从而
，
，
于是所求的切线方程为即法线方程为即x-y=0
2． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知圆柱形油罐的表面积
令由此时
, 即
:
, 得
,
, 知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。
,
所以当底半径为
和高
时, 才能使表面
, 即
积最小。这时底直径与高的比为1:1。
3． 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为O 的另一侧与点O 的距离为
，
的点
的点处，有一与成角
的力
成角的力作用着；在
处，有一与作用着. 问，，，
，
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
图
【答案】如图所示，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
即
4． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
5． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
6． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
【答案】（1）容易求出此级数的收敛半径为1，当
时，
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散，故它的和函数
（2）不难求出此级数的收敛半径为1，当
时，
有
在上式两端分别从0至x 积分，并由于
又原级数在
处均发散，故它的和函数
（3）记级数为
其收敛半径为1，当
时，有
在上式两端分别从0至x 积分，并注意到
在x=0处收敛于0，故得
又原级数在
处均匀发散，故它的和函数
当
当
时，
在x=0处收敛于0，故得
（4）容易求得此级数的收敛半径为1，收敛域有