2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
2． 求抛物线
【答案】由
的渐曲线方程。 , 及
, 知
故抛物线少=2Px的渐屈线方程为
其中y 为参数。或消去参数y 得渐屈线方程为
3． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
由格林公式得
，圆
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
；再沿圆周到点（2, 0）.
围成的平面区域记为D ，则
到点
又
所以
图
4． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得
2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体
的体积最小。
2
，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为
从而得到
，即
。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：
5． 已知函数序列
（1）问（2）证明
取多大，能使当
在
在任一有效区间[a, b]上一致收敛。
，因此对于正数ε，取
则
故
取
当
时，对一切
都有
即
，抛物线为
，b=2，c=0符合题目要求。
上收敛于0.
，在区间[0, 1]上，
时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？
【答案】（1）由于当
就有（2）记
则
于是
在上一致收敛于0.
6． 选用适当的坐标计算下列各题:
（1）（2）闭区域:
（3）（4）
，其中D 是由直线y=x，y=x+a，y=a，y=3a（a>o）所围成的闭区域; ，其中D 是圆环形闭区域
。
，其中D 是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域;
，其中D 是由圆周
及坐标轴所围成的在第一象限内的
【答案】（1）D 如图11所示. 根据D 的形状，选用直角坐标较宜。
，
故
图1
（2）根据积分区域D 的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜.
，故
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