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一、选择题

1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

故选B.

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

3．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

【答案】（A ）

4． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

是

的基础解系，

为任意常数，

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 5． 设

秩

未知量个数，

是非齐次线性方程组的两个不同解，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故 6． 设

试证

是

因此

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

的基础解系. 又由

二、分析计算题

是线性空间V 的一组基，

是它的对偶基，

表出）.

是V 的一组基并求它的对偶基（用

【答案】可利用定理3. 计算

由于右端的矩阵的行列式.

则

I

故

是V 的一组基. 设

是

的对偶基，

即

7． 设C 为复数域. 证明：

关于矩阵的普通加法以及数与矩阵的普通乘法作成实数域R 上的线性空间，且与实数域上4元行空间

同构.

【答案】证法IV 作成R 上线性空间显然. 下证V 中矩阵

是V 的一基：设有实数则由此得从而得域上4维空

间. 又因为

也是实数域上4维空间，故

间建立以下映射：

易知不仅是双射，而且是同构映射，由于空间且二者同构.

8． 设

①若A 有特征值4，1，-2, 求a , b, c. ②设

【答案】①易知：

因为

是A 的特征根，代入上式，得

于是有

即

线性无关. 线性表示. 因此，

是V 的一基，V 为实数

再易知V 中每个矩阵都可由

证法II 在V 与

是R 上4维空间，因此V 也是R 上4维线性

是的一个特征向量，求k.