2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数(数学)考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
【答案】B 【解析】
故
但当a=l时，
2． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
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）
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
线性无关.
因为 3． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
所以向量组
都是4维列向量，且4阶行列式
线性无关.
则A 与B （ ）.
二、分析计算题
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6． 在实数域上分解以下多项式：
【答案】但因为
故
为实数且
故为
当n 为偶数时，
在实数域上的分解为
则
且
于是得
此即g （x ）在实数域上的分解.
7． 设
（1）
A 是一个
矩阵，定义
为实数域上的不可约多项式. 于是当n 为奇数时，
在实数域上的分解
则
（2）试求f （A ）. 【答案】（1）
（2）
8． 如果A 、B 都是n 级正定矩阵，证明：A+B也是正定矩阵.
【答案】因为A 、B 都是n 级正定矩阵，所以，对任意n 维非零实向量X , 都有
于是
又由A 、B 都是n 级实对称矩阵，知A+B也是实对称矩阵，所以A+B是正定矩阵.
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