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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

2． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等

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为空间的两组基，且

由②有

C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

故选B.

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

分别为A ，B 的伴随矩阵，

即

5． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

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由线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

线性无关.

因为

所以向量组

线性无关.

二、分析计算题

6． 设A 、B 是n 阶正交阵，且

【答案】A 、B 为正交阵，艮P 所以

故

又因为

所以

与

同为对角矩阵

证明：

7． 设A ，B 为实对称方阵. 证明：存在正交方阵U 使

【答案】设有正交方阵U 使

由此易知：

从而得AB=BA.

反之，设AB=BA.由于A 为实对称，故存在正交方阵U. 使

其中是单位方阵. 由AB=BA可知i

与

可换. 于是由（17）可设

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