2017年华南理工大学数学学院864高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
3． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若
从而否定A ,
若选
中选三个向量组
从而否定C ,
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
4． 设向量组
线性相关，所以线性相关，故选A.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
于是
线性无关.
所以
二、分析计算题
6． （1）
设
为n 维线性空间V 的线性变换
，
且
与
互素，则
为其中
（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基多项式
由于从而有
（E 为恒等变换）
这样，令同理可得
此说明所以由此可得又所以即综上可得（2）设由于取由（1）知这里又
分别与如下齐次线性方程组
的最小多项式. 证明：如果
下的矩阵为求的最小
并对于的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.
使
互素，所以存在多项式
【答案】（1）证明：由题设
，有
则有
可得A 的特征多项式无解，所以A 的最小多项式
显有两者互素.