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一、证明题

1． 证明：(1) f 为区间Ⅰ上凸函数的充要条件是对Ⅰ上任意三点

(2) 为严格凸函数的充要条件是【答案】

因为函数的充要条件是

2． 设

所以

由此可知，为凸函数的充要条件是

为严格凸

恒有

证明：

对任意【答案】对任意稠密性，可以在

这说明f (x ) 在 3． 设

证明：【答案】因处

设

即A+C, = 0, 而

所以

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任意正数

对任意正数中选取有理数上无界.

这样

有f (x ) 在上无界.

对任意正数M>0, 由有理数的

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数，有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得.

在有界闭区域D 上连续，故由连续函数的最值性知f (x ，y ) 在D 上一定可取

得最大值和最小值，下证f (x ，y ) 在D 的内部不能取得极值，这里只需证明在D 内任何点(x, y )

即可.

对D 内任何点(x，y ) , 由于. 故又

.

故f (x , y) 不可能在D 内部取得极值，f (x , y) 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

4． 证明：级数1]上却不一致收敛。

【答案】对任意

在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，级数收敛，故

记

大值，所以

则

进而可得

时在上取得最

从而下面讨论级数

故原级数在由于

所以原级数在

数在

5．

设

上却不一致收敛. 为区间

【答案】因为得

又因为

即

根据闭区间上连续函数的介值定理，存在

6． 证明：若

【答案】

在区间上一致收敛于0, 则存在子列

使得

在，上一致收敛.

使得

在上一致收敛于0,

所以对任意的自然数

总存在自然数

而级数

收敛，由魏尔斯特拉斯判别法，得级数

使得

.

为区间

上的连续函数，所以存在最大值与最小值，即存在M , m ，使

上的连续函数，

且

证明：

存在

使得

上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级上一致收敛.

在上一致收敛.

二、解答题

7． 试求下列极限(包括非正常极限) ：

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【答案】(1) 因为当故

(4) 由于当

时，

又因为

从而当

财，

故原式=+∞ (5) 因为(6) 因为当

时

故

(7)

令

8． 设f (x ) 为可微函数

，算

并求

在

处的值.

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时，

并有方程

试对以下两种形式分别计

(1) 由方程确定的隐函数(2) 由方程确定的隐函数