2018年中国民航大学理学院817高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同. 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
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则A 与B （ ）.
使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此 3． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
线性相关，所以线性相关，故选A. 都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
于是
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时方法2
所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
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则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
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所以当方法4令
，即
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
5． 设A
为3阶矩阵
，将A
的第2列加到第
1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
. 记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
则A=（ ）.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当
二、分析计算题
6． 设E 为n 阶单位矩阵，a , b为给定的n 维列向量，并有
证明：
是正定矩阵. 【答案】当
时，显然
所以有
正定.
令
则有H , 为对称阵，且
所以的特征值为
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从而h ，半正定. 所以H 是正定矩阵.
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