2018年中北大学理学院822高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
2． 设A 、B 为满足
阶方阵，且秩
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
3． 设线性方程组的解都是线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C
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并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
的解, 则（ ）.
【解析】设即证
4． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C
与的解空间分别为则所以
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时方法2
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
所以向量组
线性无关.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
线性无关.
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所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
时，f 为正定二次型.
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，即
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当
二、分析计算题
6． 在6级行列式中，
【答案】
7
．
问3是否为，
【答案】解法1对
带正号；
这两项应带有什么符号？
带正号.
的根？是几重根？再在有理数域上分解
及其商用综合除法.
由此可知，3是解法2求
的2重根且
的逐阶导数法.
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