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一、分析计算题

1． 设V 是n 维线性空间

【答案】设先证则由次证则由

2． 证明：

【答案】证法I 拆项法.

以第一列为准，将D 拆成两个行列式相加：

线性无关，则

综上所述结论成立.

线性无关，则有无穷多个，只要答:若

则

只要证

故

不然，则

于是

矛盾. 线性无关.

设

证明：V 的r 维子空间有无穷多个，其中

线性无关. 事实上，若

是V 的基，令

证法II 第一行减去第二行，第三行减去第四行，得

第二列减第一列，第四列减第三列，再展开，即得：

3． 设

是线性空间V 中线性无关向量组，而

证明：向量组

线性无关.

线性无关，从

而

可由

线性表示，从而有

均线性相关

，线性无关，

又

【答案】由题

设线性相关，从而有

这里

而 4． 已知

【答案】因为

而

线性无关.

线性无关，所以向量组

所以A 的最小多项式为

其中a ，b 为待定常数.

当=1时，a+b=l. （2）

，

在式（1）两边同取一阶导数，且以=1代入得a=100, 代入式（2）得b=-99.将A 代入式（1）结合

是A 的最小多项式，有

5． 设

是非齐次线性方程组

证明： ⑴令则则

的一个解，

是导出组的一组基础解系，

线性无关.

其中

或是

的解，或是AX=0的解（i=l，2，... ，s ），

（2）已知向量组_

【答案】（1）设则

用A 左乘等式两边得由

故

进而

（2）由于

故

代入式（3-32）注意到

线性无关.

线性无关，立得

上式右端t+1阶方阵可逆，

故向量组

线性无关，

故

线性表示；

若

是

的解，

则

可用

线性表示，总之向量

组

与若

可

用

是

等价. 由（1

）知的解，

则

可

用

线性表示，

进而也可用

线性表示，

故

6． 设n 维线性空间V 上的线性变换A 一的最小多项式与特征多项式相同. 求证：

为v 的一个基.

【答案】据题设，设的最小多项式与特征多项式同为

则的前n-1个不变因子为1，1, …，1，第n 个不变因子为

容易知道，矩阵

使得

的不变因子也为为A , 即

所以存在V 的一个基

使得A 在这个基下的矩阵

现在4 7．

设

（1）证明：（2）证明：

则因此为V 的一个基.

与均为实数.

必有解.

的解是

的解. 又设

则

即

【答案】（1）显然，