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一、分析计算题

1． 设A 、B 为n 阶伴侣阵，

【答案】因当当

即时，

所以时，取

又

证明存在多项式

故

为A 的特征多项式即可.

使

（1）如果B 的特征值不全为0, 则存在可逆阵T , 使

由因此有

设

的最小多项式为为

的常数项，则

故

（2）如果B 的特征值全为0，由于存在可逆阵T ，使

这里

由

可设

由令

得

则由

得

又

故

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可得

这里为

阶可逆矩阵.

的常数项不为〇. 取

由于可逆，因而

令

取

从而

得到一个非齐次线性方程组，其秩等于方程个数，因而有解，从而找到

2． 设n 维线性空间V 上的线性变换A —的最小多项式与特征多项式相同. 求证：

为v 的一个基.

【答案】据题设，设的最小多项式与特征多项式同为

则的前

个不变因子为1，1，... ，1, 第n 个不变因子为

容易知道，矩阵

使

使得

的不变因子也为即

所以存在V 的一个基

使得A 在这个基下的矩阵为A ，

现在4则因此为V 的一个基. 的标准分解式.

3． 试就实数域和复数域的两种情况，求

【答案】令其中（1）因为况：

（i ）

当n=2k时，有

由①式知，

. 则

那么

在实数域的标准分解式可分为两种情

（ii ）当 n=2k+l 时，有

（2）由①式可知，f （x ）在复数域上的标准分解式为

4． 在复数域内解下列四次方程：

【答案】一般四次方程的通用解法概述如下： 设

为复数域上四次方程，称关于t 的方程

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为方程（9）的三次预解方程. 设

为其任一根，并令

的

与

的平方根. 则方程（9）的四根就是下列两个二次方程的根：

这就是说，欲解四次方程（9），就要先求三次预解方程（10）的一根再求满足条件（11

）的

与

的平方根；最后再解两个二次方程（12），（13）即得. 由方程即

且

知：

为其一根，又易知：

故可取的两个二次

方程为

其根分别为

5． 设

（1）β不能由（2）口可由（3）口可由【答案】设有数

线性表示；

惟一地线性表示，并求出表示式；

线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.

使得

作初等行变换，有

（1）当

为任意常数时，有

（2）

（3）

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为满足

故其三次预解方程为

（或前者取-1，后者取2），最后解相应于（12），（13）

这就是原方程的四根.

试讨论当a ，b 为何值时，