2017年北京工商大学分析与代数之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 为三阶实对称矩阵，且满足
（1）求A 的全部特征值；
（2）当k 为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 【答案】（1）设为A 的一个特征值，对应的特征向量为。，则
于是
因为实对称矩阵A 必可对角化，且秩A=2，所以
故矩阵A 的全部特征值为
（2）解法1 矩阵A+kE仍为实对称矩阵. 由（1）知，A+kE的全部特征值为
于是当k>2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零. 故矩阵A+kE为正定矩阵. 解法2 实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得
于是
所以
而
又因为A+kE正定，所以其顺序主子式均大于0，即
因此，当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵.
2． 设m ，n 是自然数，证明：
这里
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已知A 的秩A=2.
【答案】必要性：若由故
充分性：若
V ，则存在整数u ，使得
设
则
于是则
有公共根
这与
矛盾，
于是
3． 设线性方程组
与方程
有公共解，求a 的值及所有公共解.
【答案】解法1:因方程组（1）与方程组（2）有公共解，即如下联立方程组（3）有解
有次数大于0的公因式
矛盾，故
对方程组（3）的增广阵
施以初等行变换，有
由于方程组（3）有解，故其系数阵与増广阵等秩，于是当a=l时
因此，方程组（1）与方程组（2）的公共解为当a=2时
因此，方程组（1）与方程组（2）的公共解为
解法2:方程组（1）的系数行列式
其中k 为任意常数.
即&=1或3=2.
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当
时，方程组（1）只有零解，但此时
不是方程组（2）的解.
当a=l时，对方程组（1）的系数矩阵施以初等行变换，
因此，方程组（1）的通解为方程组（1）
与方程组（2）的所有公共解为
为任意常数.
当a=2时，对方程组（1）的系数矩阵施以初等行变换
因此，方程组（1）的通解为
将此解代入方程组（2），
得
4．
【答案】
试确定P 的值，使
所以方程组（1）与方程组（2
）的所有公共解为
k 为任意常数，此解也满足方程组（2）, 所以
有重根，并求其根. 则
（1）当所以（2）若
时，有
的三重因式，即则继续辗转相除，即
这时
的三个根为-2, -2, -2.
当p=-5时，有故
. 即x-1是的二重因式，再用
得商式
这时' 的三个根为1, 1, -8.
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