2017年东北大学分析、代数和数值分析之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：次数且首项系数为1的多项式对任意的多项式
必有
是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：或者对某一正整数
【答案】必要性. 如果f （x ）是一个不可约多项式p （x ）的方幂：
那么或后一情况
故有
充分性. 如果f （x ）不是一个不可约多项式的方幂，那么f （x ）可表成
其中
不可约，
对上式中的g （x ）, 就有
而且对任一正整数m ，
与假设矛盾，所以f （x ）必须是一个不可约多项式的方幂
2． 设A 为n 阶实对称方阵且
证明：存在正交方阵U 使
【答案】因为A 是实对称方阵，故由定理知存在正交方阵U. 使
又因为即存在正交方阵
故A 的特征根使
由此即得（9）, 其中
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现将（10）中对角线上的1都集中到前面（交换相同的行与列，即乘上适当的正交矩阵），
3． 设B 是实数域上n ×n 矩阵，了
【答案】（1）
对任一大于0的常数n ，证明定义
的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示n ×n 单位矩阵.
（2）
（3）
（4）
由于由上可知，
所以
定义了上的一个内积，从而成为欧氏空间. 且
其中
为A 的伴随矩阵，
为n 阶单位矩
4． 设A 为n 阶方阵，阵.
（1）求A 的一个零化多项式；（2）求A 的最小多项式【答案】（1）对所以
是A 的一个零化多项式.
（2）由（1）知，
所求最小多项式
或或
则有A=3E或A=2E，此均与
相矛盾. 所以
（3）由于A 的最小多项式与特征多项式不计重数时根相同，由（2）得A 的特征值为3和2, 又A 所有特征值之积为
所以A 的若当标准形为
所以A 有且仅有另外一个特征值3. 即A 的所有特征值为
3, 3, 2.可见A 为3阶方阵，其不变因子为1,
如
是
的因式.
所以
只能为
为一次，即
两边左乘A ，移项整理得
（3）求A 的若当标准形.
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5． 已知3阶矩阵A 的第一行是（a , b ，c ），a ，b ，c 不全为零，矩阵且AB=0, 求线性方程组AX=0的通解.
【答案】由于AB=0, 故
当k ≠9时，r （B ）=2, 于是r （A ）=1;
当k=9时，r （B ）=1，于是r （A ）=1或r （A ）=2. 对于
由AB=0可得
由于是AX=0的通解为
其中
线性无关，故为任意常数.
为AX=0的一个基础解系，于
又由a ，b , C 不全为零，可知
（k 为常数），
对于k=9，分别就r （A ）=2和r （A ）=1进行讨论. 如果r （A ）=2, 则AX=0的基础解系由一个向量组成. 又因为
所以AX=0的通解为
为任意常数.
如果r （A ）=1，则AX=0的基础解系由两个向量构成，又因为A 的第一行为（a , b , c ）, 且a , a , c
不全为
其中
6． 设
的一子空间记作C （A ）;
0, 所以
AX=0
等价
于
不妨
设
由
于
是AX=0的两个线性无关的解，故AX=0
的通解为
为任意常数.
（1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成（2）当A=E时，求C （A ）; （3）当
时，求C （A ）的维数和一组基. 【答案】（1）显然C （A ）非空，又是间.
（2）（3）设
中任一矩阵都与E 交换，故
满足BA=AB, 即
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中加法封闭和数量乘法封闭的子集，故构成子空